Công thức tính bán kính đường tròn & ví dụ minh họa

Đường tròn là hình học cơ bản thường xuyên gặp trong toán hình, nếu không nắm rõ kiến thức về đường tròn, các công thức tính của đường tròn bạn sẽ khó có thể giải bài tập toán đường tròn được. Nếu bạn đang muốn bổ sung kiến thức về đường tròn, bán kính đường tròn, vậy mời bạn cùng ThuThuatPhanMem.vn tìm hiểu công thức tính bán kính đường tròn & ví dụ minh họa trong bài viết dưới đây nhé.

I. Đường tròn là gì?

Trong hình học phẳng, đường tròn là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.

Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó, hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của nó. Đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu là (O;R). Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta có thể vẽ được một và chỉ một đường tròn.

Đường tròn và hình tròn là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau. Hình tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm trong và nằm trên đường tròn hay tập hợp các điểm cách tâm một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng bán kính. Đường tròn không có diện tích như hình tròn.

Bán kính đường tròn là đoạn thẳng (hoặc độ dài đoạn thẳng) nối tâm với một điểm bất kì trên đường tròn và bằng một nửa đường kính.

Đường kính đường tròn đoạn thẳng (hoặc độ dài đoạn thẳng) có 2 đầu mút nằm trên đường tròn và là dây cung đi qua tâm, hoặc khoảng cách dài nhất giữa 2 điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn và bằng 2 lần bán kính.

Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó. Chính là khi ta vẽ một đường tròn sao cho nó đi qua tất cả các đỉnh của đa giác thì đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác.

Đường tròn nội tiếp đa giác là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Đường tròn này được vẽ bên trong đa giác sao cho các cạnh của đa giác là tiếp tuyến của đường tròn.

II. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Đường tròn ngoại tiếp tam giác được hiểu đơn giản là đường tròn tiếp xúc phía ngoài của một tam giác, hay đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác được xác định là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó. Đường tròn ngoại tiếp tam giác còn có thể được gọi với một cái tên khác là tam giác nội tiếp đường tròn (hay tam giác nằm trong đường tròn).

Tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác

• Một tam giác thì chỉ có một và duy nhất một đường tròn ngoại tiếp
• Trong tam giác bất kỳ giao điểm của ba đường trung trực chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó
• Trong tam giác vuông thì trung điểm của cạnh huyền tam giác đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác
• Trong tam giác đều thì tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác đó sẽ cùng là 1 điểm

2. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là độ dài từ tâm của đường tròn ngoại tiếp tới một trong các đỉnh của tam giác. Khi tiến hành nối tâm O của đường tròn với 3 đỉnh của tam giác ABC thì sẽ có được các đường thẳng: OA = OB = OC đây chính là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Có 4 cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tùy theo dữ liệu đề bài đưa ra để bạn có thể tính bán kính đường tròn. Giả sử cho tam giác ABC có S là diện tích của tam giác ABC; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác theo diện tích

Cũng trong tam giác ABC bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC được tính theo độ dài các cạnh của tam giác với công thức như sau: \[S=\frac{a b c}{4 R}=>R=\frac{a b c}{4 S}\]

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác sử dụng hệ tọa độ

Bước 1: Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bước 2: Tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có)

Bước 3: Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính cần tìm: R = OA = OB = OC.

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác theo định lý sin

Sử dụng định lý sin trong tam giác ta có:

\begin{aligned} & \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R \\ \Rightarrow & R=\frac{a}{2 \sin A}=\frac{b}{2 \sin B}=\frac{c}{2 \sin C}\end{aligned}

Trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện các cạnh.

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài cạnh huyền.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có góc A bằng 45° và BC = 4 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài giải

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: a = BC = 4

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{a}{\sin a}=2 R\)

\(=>R=\frac{a}{2 \sin a}=\frac{4}{2 \sin 45^{\circ}}=\frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}\)

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng \(2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}\).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 6, BC = 8 và CA = 10. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài giải

Ta có \(A B^2=6^2=36 ; B C^2=8^2=64 ; A C^2=10^2=100\)

Vì 36 + 64 = 100

Nên \(A B^2+B C^2=A C^2\), theo định lý Pytago thì tam giác ABC vuông tại B.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

\(R=\frac{1}{2} A C=\frac{1}{2} \times 10=5 \mathrm{~cm}\)

III. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

1. Đường tròn nội tiếp tam giác là gì?

Trong hình học, đường tròn nội tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn là đường tròn nằm trong tam giác, tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác.

Tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác

• Mỗi một tam giác chỉ có duy nhất 1 đường tròn nội tiếp
• Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau
• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường phân giác của tam giác đó do đó bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm hạ vuông góc xuống ba cạnh của tam giác

2. Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác theo diện tích và chu vi tam giác: \(r=\frac{S}{p}=\frac{2 S}{a+b+c}\)

Trong đó:

• a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác tương ứng với các cạnh BC, AC, AB
• p là nửa chu vi được tính \(p=\frac{a+b+c}{2}\)
• S là diện tích của tam giác
• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 7, AC = 8 và BC = 13. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài giải

Ta có nửa chu vi tam giác ABC là:

\(p=\frac{A B+A C+B C}{2}=\frac{7+8+13}{2}\) = 14

Theo công thức Heron, diện tích tam giác ABC là:

\begin{aligned} S & =\sqrt{p(p-A B)(p-A C)(p-B C)} \\ & =\sqrt{14 \cdot(14-7)(14-8)(14-13)} =\sqrt{14 \cdot(14.7.6.1)} \\ & =\sqrt{588}\\ & = \frac{24 \sqrt{12}}{14}\end{aligned}

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ta có:

\(r=\frac{S}{p}=\frac{24 \sqrt{12}}{14}=\frac{12 \sqrt{12}}{7}\)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có \( \hat{E}=60^{\circ} \) và AB = 6, BC = 12.

a. Tìm độ dài cạnh AC.

b. Tìm diện tích tam giác ABC.

c. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài giải

a. Áp dụng định lý Cosin cho tam giác ABC ta có:

AC² = AB²+BC² - 2*AB*BC*cos(E)

AC² = 6²+12² - 2*6*12*cos(60⁰)

AC² = 36 + 144 -72 = 108

=>\(AC =\sqrt{108} = 6\sqrt{3}\)

b. Ta có: \(A B^2=6^2=36 ; A C^2=108 ; B C^2=12^2=144\)

Ta thấy 36 + 108 = 144. Vậy nên \(A B^2+A C^2=B C^2\)

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Diện tích tam giác vuông ABC là: \(S=\frac{1}{2} A B \cdot A C=6 \cdot 6 \sqrt{3}=18 \sqrt{3}\)

c. Nửa chu vi tam giác ABC là: \(p=\frac{A B+A C+B C}{2}=\frac{6+6 \sqrt{3}+12}{2}=9+3 \sqrt{3}\)

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\(r=\frac{S}{p}=\frac{18 \sqrt{3}}{9+3 \sqrt{3}}=3 \sqrt{3}-3\)

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: \(3 \sqrt{3}-3\)

Trên đây ThuThuatPhanMem.vn đã chia sẻ với bạn công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác và ví dụ minh họa cụ thể. Hi vọng sau khi tham khảo bài viết này bạn sẽ nắm rõ hơn kiến thức về đường tròn, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác cũng như công thức tính bán kính đường tròn. Từ giờ bạn có thể dễ dàng giải các bài tập liên quan đến tính bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác. Cảm ơn bạn đã quan tâm và theo dõi bài viết này.